LCM HCF | लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक

लघुत्तम  समापवर्त्य-( Least Common Multiple – LCM )

दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल. स.) वह छोटी से छोटी संख्या या न्यूनतम घात वाला व्यंजन है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णता विभाजित हो जाता है |

Example- 4, 6, 8 तीन संख्याओं का ल.स. ज्ञात करना |

2|4 ,6 ,8
_| _ _ _
2|2, 3 ,4
_| _ _ _ _
2|1, 3 , 2
_| _ _ _ _
3| 1, 3, 1
_| _ _ _ _
|1, 1 , 1

Lcm-2*2*2*3= 24

महत्तम समापवर्त्य- ( Highest Common Factor-hcf )

बड़ी से बड़ी वह संख्या जो दी गयी संख्याओ को पूर्णता विभाजित कर दे उसे उन संख्याओ का म.स. कहते है |

Example :- 6 , 8 , 12 का म.स. ज्ञात करना
 
6 को विभाजित करने वाली संख्याये = 1, 2, 3, 6 
8  को विभाजित करने वाली संख्याये = 1, 2, 4, 8
12 को विभाजित करने वाली संख्याये = 1, 2, 3, 4, 6, 12

यहा 2 ऐसी संख्या है जो सभी संख्या को विभाजित करती है और महत्तम भी है अत : म.स. 2 होगा |

2|6 2|8. 2|12
_ |_. _| _. _| _
3|3. 2|4. 2|6
_ |_. _| _. _| _
_ |1. 2|2. 3|3
_| _

Hcf-2

Lcm and Hcf short tricks

1- म.स. × ल.स. = संख्याओ का गुणनफल 

Example दो संख्याओं का एलसीएम 1920 तथा 16 है यदि इनमें से एक संख्या 128 हो तुम दूसरी संख्या क्या होगी

माना दूसरी संख्या=x
तब
X* 128 = 1920*16
X=1920*16/128=240
अतः दूसरी संख्या=240

2- भिन्नो का ल.स. = अंशो का ल.स. / हर का म.स.

Example  प्रश्न- 11/14, 55/42, 33/35, 44/63 का lcm ज्ञात कीजिए
हल lcm=

11,55,33,44 का lcm
______
14,42 ,35,63 का hcf
=660/7
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3- भिन्नो का म.स. = अंशो का म.स / हर का ल.स. 

Example प्रश्न- 14/33,42/35, 21/22 का hcf ज्ञात करो
हल hcf=
14,42,21 का hcf
_____
33,55,22 का lcm

=7/330

वह छोटी से छोटी संख्या जिसे संख्याएं x,y,z से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्रमशः a,b,c हो तो
अभीष्ट संख्या = x ,y , z का ल.स. – k

जहा k = (x-a) = (x-b) = (x-c)

वह छोटी से छोटी संख्या जिसे x,y,z से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल k प्राप्त हो तब

अभीष्ट संख्या = x ,y ,z का ल.स. + k

Example-.वह छोटी से छोटी संख्या क्या है जिसको 12 ,24 ,36 व 45 से अलग अलग भाग देने पर प्रत्येक दशा में 6 शेष बचे ?

हल
12, ,24 ,36 व 45 का ल.स. = 360
तो अभीष्ट संख्या = 360 + 6 = 366

वह बड़ी से बड़ी संख्या जिससे किन्ही संख्याओ x,y व z को विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः a,b व c प्राप्त होता है

तब अभीष्ट संख्या = (x-a)(y-b)(z-c) का म.स.

वह बड़ी से बड़ी संख्या , जो संख्याओ x, y ,z को विभाजित करने पर प्रत्येक दशा में समान शेषफल  छोड़े ,तब
अभीष्ट संख्या = (x-k)(y-k)(z-k) का म.स.

जब सामान शेषफल k हो

Example
वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी है जिससे 1356 1868 व 2764 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में 12 शेष बचे ?

हल : 
1356 – 12 = 1344 ,
1868 -12 = 1856 ,
2764 -12 = 2752

Hcf. निकालने पर

1344 , 1856 , 2752 का hcf= 64
 अतः वह बड़ी से बड़ी संख्या 64 होगी

यदि दिए गए संख्याओ  में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड ना हो तो उनका म.स. 1 तथा ल.स. उनका गुणनफल होता है |

Example
2,5 का hcf =1
2,5 का lcm=2×5=10

LCM AND HCF QUESTIONS

Que1= 4223/3193 उपरोक्त संख्या का सरलीकरण पर प्राप्त अंश और हर का अंतर होगा
A 10 ✔
B 23
C33
D20
E जानकारी अपर्याप्त है
F उपरोक्त में से कोई नहीं

Q2= 300 से 400 के मध्य ऐसी संख्या जिसे क्रमशः 6 ,9 और 12 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 4 बचा रह जाए ऐसी दो संख्याएं यदि हो तो उन दोनों संख्याओं का योगफल कितना होगा यहां ध्यान देने योग्य बात यह है कि पहली संख्या 300 से जस्ट बड़ी और दूसरी संख्या 400 से जस्ट छोटी होनी चाहिए
A 1038
B 1578
C 692 ✔
D 732
E nota

Q3= एक दूधवाले के पास 2 टैंक 75 लीटर और 45 लीटर के हैं दूधवाला बाजार से एक ऐसा नाप खरीद के लाता है जिससे सारा दूध नापा जा सके परंतु उसके परिवार के सभी लोग जो कि उसके सहित 5 लोग हैं भी वहीं नाप खरीद कर ले आते हैं यदि नाप ₹20 प्रति लीटर के हिसाब से मिले तो बताइए की दूधवाले के घर से कुल कितने रुपए अब तक लग चुके हैं
A 2500
B 1500 ✔
C 4500
D 7500
E जानकारी अधूरी और गलत है
F उपरोक्त में से कोई नहीं

Q 4= 105 बकरियां 140 गधे और 175 गाय नदी पार कर रहे है इस कार्य को जल्दी से जल्दी पूरा करने के लिए केवल एक नाव है और उस पर एक सुस्त नाव वाला बैठा हुआ है इस कार्य के लिए उसने कुछ शर्ते रखी है उसकी शर्त यह है कि एक बार में वह एक ही प्रकार के पशुओं को ले जाएगा (( एक बार में जितने पशु ले जाएगा हर बार उतने ही पशु ले जाने पड़ेंगे)) और हर एक ट्रिप में समान संख्या में पशु जाएंगे तो बताइए अधिकतम कितने पशु ट्रिप पर उस पार जा पाएंगे
A 35 ✔
B 42
C 21
D 63 

Q.5 दो संख्या 13 और 5 के अनुपात में हैं यदि उनका एलसीएम 15 / 7 है तो उसका एचसीएफ कितना होगा
A 15
B 16
C. उपरोक्त में से कोई नहीं
D दी गई जानकारी असत्य प्रतीत हो रही है ✔
 
D 15 / 7 को हल करने पर एक अपरिमेय संख्या बनती है जो किसी संख्या का हल नहीं हो सकता नहीं उसका एलसीएम हो सकता है अतः दी गई जानकारी असत्य है